Sucesiones: límites ¡Menudo lio!

Posted by: Elisa Benitez on: 7 noviembre, 2014

• En: Ampliación Matematicas 4ESO | BACHILLERATO
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Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro, ordenados a1, a2, a3 ,…………….., an.

Los números a1, a2 , a3 , …; se llaman términos de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Los subíndices recorren los números naturales porque una sucesión tiene tantos elementos como números naturales hay; es decir, una sucesión tiene una cantidad infinita numerable de términos.

Las sucesiones son discontinuas, pues no hay imágenes para números distintos a los naturales, es una de las diferencias con las funciones.
Cuando en una sucesión haya que referirse a un término cualquiera sin especificar el lugar que ocupa se hará siempre mención al término an , denominado término n-ésimo o termino general, que es una expresión que permite conocer un elemento cualquiera siempre que se sepa el lugar que ocupa. En definitiva, el lugar que cada término tome en una sucesión será de vital importancia a la hora de hacer un mínimo análisis del comportamiento de la sucesión.

Ejemplos:

a) 1,2,3,4……..n, ……… Termino general=n

b) 1, ½, 1/3, ¼, 1/5,………1/n,……. Termino general=1/n

Determinación de una sucesión
1.Por el término general an= 2n-1

2. Por una ley de recurrencia

Veremos sólo los límites de las sucesiones cuando n tiende a ∞, de sucesiones polinómicas y radicales

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

INDETERMINACIONES

Se conocen así las expresiones a las que se llega en el cálculo de límites y que no tienen un resultado perfectamente determinado.

Por ejemplo, la expresión ∞/∞ podría valer ∞ , puesto que al dividir ∞ por una expresión debería dar ∞ ; por otro lado podría dar 0, ya que algo dividido por ∞ tiende a 0; también podría ser 1 puesto que una expresión dividida por ella misma da la unidad. La práctica nos hará ver casos, en que la expresión ∞/∞ dará lugar en unos casos a un número y en otros a otro distinto.

Las indeterminaciones más habituales son:

Parece que este tema es un poco abstracto y os esta costando entender la idea de límte, quizas os puedan ayudar esta recopilación de videos, en alguno de ellos no lo hacen exactamente como lo hacemos en clase pero seguro que los vais a entender.

LIMITE DE UNA SUCESIÓN (calculando sus términos)

IDEA DE LÍMITE (lo veremos la semana que viene)

POLINOMIOS

∞/∞

Cuando tengamos que calcular el límite de un cociente de dos polinomios, que obviamente producirá una indeterminación de este tipo, dividiremos el numerador y denominador por la n de mayor grado y volveremos a calcular el límite aplicando las propiedades que ya conocemos de los límites.

Veamos un ejemplo:

0/0 y 0±∞

Os recuerdo que esta indeterminaciones se resuelve operando y llegando a la anterior, es decir a ∞/∞

RADICALES

∞/∞

 

∞- ∞

Si la indeterminación se produce como consecuencia de que la estructura del límite es una diferencia de dos radicales , se multiplica y se divide por la expresión conjugada.

Veamos un ejemplo:

 

INDETERMINACIÓN  (Número e)

 

CASOS QUE NO SON INDETERMINACIONES

PARA PRACTICAR

Para terminar os dejo este documento Limites_con_soluciones

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Esta entrada participa en la Edición 5.8: Betty Scott del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog tocamates.

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