Que no te aburran las M@TES

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La derivada es el ritmo de cambio de cualquier función en un determinado instante, pero también puede representar el ritmo o velocidad de cambio de cualquier cosa, la densidad o aumento de la población de delfines en relación con el aumento o disminución de la temperatura del agua, el ritmo de cambio de volumen de un globo respecto al área de su superficie o el ritmo de cambio del precio de una pizza con respecto a su tamaño.

La derivada dentro de la rama de la Física estudia las leyes del movimiento, lo que las ruedas son para un viaje, un medio sencillo pero muy eficaz.

Derivadas en la Vida cotidiana

DEFINICIÓN DE DERIVADA

VÍDEO Interpretación geométrica de la derivada

Si tenemos una función f(x), la derivada de la función en x=a, f ‘(a), es la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x=a.

De esta forma, si tenemos una función f(x), su función derivada f ‘(x) es la función que en cada punto toma el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) en ese punto.

Para entender el concepto de derivada necesitamos entender que es la tasa de variación y la tasa de variación media

  1. Dada una función f(x), llamábamos tasa de variación al número que representa el aumento o disminución que experimenta la función al aumentar la variable independiente de un valor “a” a otro “b”.
    La tasa de variación de f(x) entre a y b (siendo a<b) es igual a:       TV[a, b]= f(b)-f(a)
  1. La tasa de variación media de una función f(x)entre a y b (siendo a<b), la definíamos como la variación media que se producía en el intervalo

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         La T.V.M. de una función en un intervalo [a,b] es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abscisas a y b.

Ejemplo: https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=Mk0Mr_ctdUA

RELACION TVM con la monotonía de una función

La tasa de variación media, TVM, de una función f(x) en un intervalo [a, b] es: TVM[a, b]

  • Si f(x) es creciente en el intervalo (a, b), la tasa de variación media en [a, b] es positiva; es decir: f(x) creciente en (a, b) ……… TVM[a, b] > 0
  • Si f(x) es decreciente en el intervalo (a, b), la tasa de variación media en [a, b] es negativa; es decir: f(x) decreciente en (a, b)………… TVM[a, b] < 0
  •  Si f(x) es constante en el intervalo (a, b), la tasa de variación media en [a, b] es cero; es decir: f(x) constante en (a, b)…………… TVM[a, b] =0

COMO LLEGAMOS A LA DEFINICIÓN DE DERIVADA………………..

Partiendo de la TVM (a,b)
deri_0

Si en lugar de “b”, al segundo punto lo llamamos “a+h”, la fórmula anterior quedaría así:

deri_1

Fíjate que si manipulas los controles a y h de la derecha, puedes ver cómo cambia la TVM de esa función, pero en particular, es interesante que te fijes lo que ocurre si el intervalo donde hacemos la tasa de variación media es especialmente pequeño. Fíjate que nos reducimos prácticamente al punto a. Y mientras más pequeño, más nos reducimos

Si hacemos h muy muy muy pequeño, obtenemos una información precisa de lo que ocurre en el punto de abscisa a. Y hacer h muy pequeño, es hacerlo tender a cero. Pues bien cuando hacemos h tender a cero en la tasa de variación media, llegamos al concepto de tasa de variación instantánea. Es decir, la tasa de variación instantánea en un punto, es el límite cuando h tiende a cero de la tasa de variación media en el intervalo [a, a+h]

deri_2

Y esto precisamente nos lleva al concepto de derivada en un punto; la variación instantánea en un punto. Así, la derivada de una función f(x) en el punto de abscisa x0, se define como el límite:

deri_3

Vídeo (calculo derivada de una función en un punto usando la definición de derivada)

Vídeo (cálculo derivada de una función usando la definición de derivada en un punto con un ejemplo de una función cuadrática)

Podemos sacar la ecuación de la recta tangente y normal o perpendicular a una curva en un punto, usando la ecuación punto-pendiente de la recta; la pendiente es f ‘(a) y el punto por el que pasa la recta (a, f(a)):

deri_4DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA DERIVADA (con muchos deltas e incrementos, algo liosa para niveles bajos, pero muy muy interesante y bien explicado)

RESUMEN

  1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EN UN PUNTO

La derivada de la función f en el punto x=a es el límite, si existe, que viene dado por:

deri_5

Si el límite existe se dice que la función f es derivable en el punto x=a. La derivada de una función en un punto es un número real.

La derivada se puede representar mediante varias notaciones: f´(x), y´(x), D f(x)

En ciencias experimentales se suele emplear la expresión:

deri_6

  1. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

La pendiente de la tangente a una curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto: m =  f´(a)

DIBUJO

FUENTE IMAGEN: LIBRO Matemáticas Aplicadas Ciencias Sociales 1º Bachillerato. BRUÑO

La normal de una curva en un punto a es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto.

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  1. REGLAS DE DERIVACIÓN

TABLAS_1TABLAS_2TABLAS_3

 VIDEO TABLA DE DERIVADAS

VIDEO EJERCICOS DERIVADAS BASICAS

LIBRO: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 1º Bachillerato. Editorial BRUÑO

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EJERCICIOS DERIVADAS_resueltos

EJERCICOS_VARIADOS_resueltos

Esta entrada participa en la edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews

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FUENTES: http://www.ieszaframagon.com/matematicas/matematicas2/derivada/1_tasa_de_variacin_media_e_instantnea_definicin_de_derivada.html

http://www.infoymate.es/Bruno/

LIBRO: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 1º Bachillerato. Editorial BRUÑO

Como no podría ser de otra forma las ciencias y las matemáticas están muy relacionas. En está entrada vamos a ver los mapas mentales que han realizado mis alumnos de cuarto de Diversificación relacionados con el movimiento.

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La cinemática  es la ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

Mientras viajas en coche, autobús o tren, si te fijas en los postes de la luz, te puede dar la sensación de que estos se mueven, aunque en realidad todos sabemos que están anclados al suelo. ¿Cómo es posible? Sencillamente, de forma inconsciente nos da la sensación de que estamos parados, aunque realmente somos nosotros los que nos movemos dentro del vehículo. Hemos perdido el punto de referencia.

Así para poder entender el movimiento debemos marcar un punto de referencia.  De la misma manera podemos explicar la sensación de que mientras lees esto permaneces en reposo, aunque sabemos que nuestro planeta gira alrededor del Sol, y por tanto, estamos en movimiento. Por tanto, movimiento es el cambio de posición de un objeto respecto a un punto de referencia

Los jueces que miden la distancia recorrida por un atleta en un salto de longitud, miden la distancia que recorre este atleta en el plano horizontal. Pero, ¿coincide la distancia que miden con el camino realmente recorrido por el atleta?

  1. Trayectoria: Es el recorrido real entre el origen y el destino
  2. Desplazamiento: Es la distancia entre el origen y el destino

 Podemos clasificar el movimiento según la trayectoria: en rectilíneo y curvilíneo (Elíptico, circular, parabólico)

 1. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Velocidad es el espacio recorrido por unidad de tiempo V = s /t

Su unidad en el Sistema Internacional es m/sg

El espacio se calcula con la fórmula: S  = S0 + V0 t

Donde:

v0 = velocidad cuando t =0

s0 = distancia al origen cuando t =0

s = distancia al origen (puede que no coincida con el espacio recorrido)

t = 0, significa cuando empieza a contarse el tiempo o cuando se aprieta el cronómetro

En ocasiones también se utiliza como unidad el Km/h, y para cambiar de unidad podemos hacer los siguientes cálculos:

Pasar de Km/h  a  m/sg tenemos que dividir entre 3,6 y al revés multiplicamos entre 3,6

Un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) implica que

  • La velocidad es contante (V = cte)
  • El movimiento es una línea recta. La inclinación (pendiente) nos da la velocidad. El punto de corte con el eje vertical da s 0 (espacio inicial)

2.  Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

Aceleración es el cambio de velocidad con respecto al tiempo   a = (Vf – V0 )/ t

Su unidad en Sistema Internacional es m/ sg2

La velocidad  en este se calcula mediante la fórmula: Vf   = V0 + a t

y el espacio: S  = S0 + V0 t + a t2 / 2

Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) implica que

  • La trayectoria es una línea recta
  • La velocidad varia con el tiempo
  • La aceleración es constante

Representaciones gráfica de los movimientos

Los datos tomados en un movimiento se pueden representar en gráficas de tipo espacio-tiempo (s-t), en las que el espacio se sitúa en el eje de ordenadas (vertical) y el tiempo en el eje de abscisas (horizontal). También podemos representar gráficas de velocidad-tiempo (v-t) y de aceleración-tiempo (a-t), manteniendo el tiempo en el eje de abscisas.

Para realizar una gráfica correctamente debemos:

  1. Trazar los dos ejes y situar las magnitudes y unidades que vamos a representar en ellos.
  2. Observar los datos que hay que representar y dividir los ejes con valores equidistantes.
  3. Para cada pareja de valores de nuestra tabla, trazamos líneas perpendiculares al eje, hasta que se encuentren en un punto que marcamos.
  4. Se unen los puntos marcados mediante una recta

En función del tipo de movimiento que estemos representando las gráficas (s-t), (v-t) y (a-t), seguirán un patrón diferente y esto queda representado en los mapas mentales de los alumnos que os dejo a continuación.

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RESUMEN DE GRÁFICAS

MRU:

gráfica s – t es una recta. La inclinación (pendiente) nos da la velocidad. El punto de corte con el eje vertical nos da el espacio inicial, s0

gráfica v – t es una recta paralela al eje t

MRUA:

gráfica s – t  es una parábola: La aceleración es positiva si la parábola se abre hacia arriba y negativa si lo hace hacia abajo. Cuanto más cerrada sea la parábola, mayor aceleración. El desplazamiento inicial s 0 se determina viendo el punto de corte con el eje “s”

gráfica v- t es una recta. La inclinación de la recta depende de la aceleración. Para calcular v 0 determinar punto de corte de la recta con eje “v”

gráfica a – t  es una recta paralela al eje t.

Espero que esta entrada os sirva para daros cuenta de la importancia que tienen las gráficas en las aplicaciones a las ciencias en este caso a la cinemática que estudia el movimiento.

Esta entrada participa en la edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews

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conferencia

Conferencia de Carlo Frabetti, escritor y matemático italiano, más información en el enlace siguiente MATEMATICAS_RESIDENCIA_FRABETTi

ALGUNA DE SUS OBRAS:

  • La magia más poderosa
  • Ulrico y las puertas que hablan
  • Ulrico y la llave de oro
  • Ulrico y la flecha de cristal
  • Malditas Matemáticas, Alicia en el país de los números
  • Nunca más
  • El ángel terrible
  • Calvina
  • El vampiro vegetariano
  • El mundo inferior
  • El palacio de las cien puertas

FUENTEwikipedia.org


Elisa Benitez. Colegio Rafaela Ybarra. Madrid

  • 1.680.667 visitas

Autora Cuadernillo Día Escolar de la Matemáticas 2010, “Prensa y matemáTICas”.

http://www.fespm.es/-DEM-2010-

Mención de Honor X Certamen Incubadora de Sondeos y Experimentos.

Mi Blog en laBlogoteca 20.minutos.es

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