Que no te aburran las M@TES

1. Medidas de ángulos: Grados y radiales

Además de grados los ángulos en trigonometria tambien se miden en radianes, tenemos que saber entonces que es un radian y como pasar de grados a radianes y viceversa.

El grado (DEG) es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud (2 r)/360. Se simboliza con  º
Un grado son 60 minutos. 1º = 60´
Un minuto son 60 segundos. 1´ = 60´´

El radián (RAD) es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual al radio. Se simboliza con rad.

Veámoslo en el VIDEO siguiente, cómo los ángulos se pueden medir en grados y radianes y la relación entre ambos viene expresada por:

180º = π radianes

Ahora a practicar:

2. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Las razones trigonométricas que nos van a permitir hallar los elementos de un triángulo rectángulo (lados y ángulos)

razones trigonometricas

3. Circunferencia goniometría: Circunferencia de radio la unidad, usada para hallar el valor de las razones trigonométricas.

Observa que (cos α, sen α) son las coordenadas del punto final del ángulo α en la circunferencia de radio unidad. Importante recordar el siguiente triángulo:

dibujo seno_coseno

Para dar un significado a las relaciones trigonométricas utilizaremos un ejemplo real, el giro de una noria, con ello asociaremos la noción seno a la altura y la noción coseno a la longitud.

noria

4. Razones trigonométricas ángulos más usuales

Ángulos importantes del primer cuadrante

Cuando me explicaron esto en el Instituto, tuve la suerte de que mi profesora de Matemáticas me contara un truco para aprenderme la tabla de los ángulos más usuales que yo os cuento ahora:

Si nos fijamos en la tabla siguiente, vemos que si numeramos los ángulos de 1 a 3 en orden creciente en columna y dividimos entre 2, y hacemos la raíz cuadrada del numerador, entonces obtenemos la columna de los senos. Para obtener la columna de los cosenos no hace falta ningún cálculo, simplemente procedemos en orden inverso a hacer lo que hemos hecho antes. Y para obtener la de las tangentes simplemente divididos el valor del seno entre el valor del coseno.

formulas

El primer video es la demostración de lo que valen cada una de estas razones de los ángulos más usuales 30º, 45º y 60º

Los dos siguientes videos nos muestran un truco para aprenderse lo que valen pero sin demostrarlo


 

5. Signos razones trigonométricas según el cuadrante

Relaciones fundamentales:
relaciones_formulasA partir de la primera relación se pueden obtener dos relaciones más ¿podrias averiguar cuales son? Si lo haces escribelo en un comentarío o mándamelo por correo :)

Con estas dos relaciones podemos sabiendo el sen a, cos a o tan a, podemos calcular el resto de razones trigonométricas, teniendo en cuenta los signos de las razones trigonométricas que calculemos según el cuadrante donde se encuentren.

Veremos ejemplos en clase, donde dada una de las razones trigonometricas calculamos el resto.

6. ÁNGULOS MAYORES DE 360º

Los valores comprendidos entre 0º y 360º nos permiten expresar la medida de cualquier ángulo.

Por ejemplo, podemos darle sentido al ángulo 400º = 360º + 40º al situarlo sobre la circunferencia goniométrica, pues el segundo lado dará una vuelta completa (360º) más un ángulo de 40º :

400º = 360º + 40º = 1 vuelta + 40º

Para cualquier ángulo mayor que 360º se divide entre 360 y el cociente nos da el número de vueltas enteras y el resto, el ángulo b (entre 0º y 360º)

a = n.360º + β, donde n es un número entero de vueltas (positivo o negativo)

Veamos un video para ilustrarlo mejor:

7. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES DE CIERTOS ÁNGULOS

ANGULOS SUPLEMENTARIOS: son aquellos que suman 180º     (a y 180º-a)


• sen (180º -a ) = sen a
• cos (180º -a )= -cos a
• tg (180º – a)= -tg a

Estas relaciones me sirven para cuando tenemos un ángulo que pertenece al II cuadrante, pasarlo al I cuadrante donde los ángulos más usuales que nos podemos encontrar serán 30º, 45º y 60º, de los cuales conocemos su valor sin necesidad de utilizar la calculadora y podemos expresar las relaciones  anteriores de la siguiente forma, quizas quede así más claro:

sen a= sen (180º -a )
cos a= – cos (180º -a )

tg a= – tg (180º – a)

Ejemplo:

Vamos a calcular el cos 120º, para ello nos fijamos que 120º pertenece al II cuadrante, entonces sabemos que:  cos 120º= – cos (180º -120º ) = -1/2

 

Si ahora tenemos un ángulo de III cuadrante ¿cómo lo relacionaremos con el I cuadrante?

sen a=-  sen (a- 180º)
cos a= – cos (a- 180º)

tg a= – tg (a- 180º)

 

Y por último si el ángulo esta en el IV cuadrante ¿cómo lo relacionaremos con el I cuadrante?

sen a= –  sen (360º-a)
cos a= cos (360º-a)

tg a= – tg (360º-a)

 

CONCLUSION: Podemos relacionar cualquier ángulo y pasarlo al I cuadrante

 

EJERCICOS RESUELTOS

1. Calcular en función de las razones trigonométricas de ángulos conocidos el sen y cos de los siguientes ángulos: 120º, 135º, 150º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 330º.

sen120º=sen60º, cos120º=-cos60º
sen135º=sen45º, cos135º=-cos45º
sen150º=sen30º,cos150º=-cos30º
sen180º=sen0, cos180º=-cos0º
sen210º=-sen30º, cos210º=-cos30º
sen225º=-sen45º,cos225º=-cos45º
sen240º=-sen60º, cos240º=-cos60º
sen270º=-sen90º, cos270º=-cos90º
sen300º=-sen60º, cos300º=cos60º
sen315º=-sen45º, cos315º=cos45º
sen330º=-sen30º, cos330º=cos30º

 

2. Calcula reduciendo al primer cuadrante las razones trigonométricas siguientes: a) sen150; b) cos135; c) tg300; d) sec225; e) cosec120; f) cotg240; g) sen750; h) cos(8π/3).

Sol: a) 1/2             b) -raiz 2/2              c)-raiz 3      d) -raiz 2       e)  2/raiz 3             f)raiz 3/3                  g) 1/2                       h) -1/2

ÁNGULOS QUE DIFIERECIAN 180º

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo a con las de 180º+a va a permitir “reducir” ángulos del III al I cuadrante.


• sen (180 + a) =- sen a
• cos (180 + a)= – cos a
• tg (180 +a )= tg a

 

 ÁNGULOS OPUESTOS

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo a con las de su opuesto -a  va a permitir “reducir” ángulos del IV al I cuadrante.

• sen (-a) = – sen a
• cos (-a)= cos  a
• tg (-a) = – tg a

ANGULOS COMPLEMENTARIOS


• sen(90 – a)= -cos a
• cos(90 – a)= sen a
• tg(90 – a)= -cotg a

 

Esta entrada participa en la edición 5.X: Sofia Kovalévskaya del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews

20150126_230526

Antes de empezar este tema, serías capaz de contestar a las preguntas siguientes:

1. ¿Qué es la trigonometría? ¿Para qué sirve?
2. Nombra civilizaciones antiguas que utilizaron la trigonometría
3. Cita utilidades de la trigonometría en la antigüedad
4. Cita utilidades de la trigonometría en la actualidad

Vamos a contestrar a las preguntas anteriores para ello veamos la definición no formal de la trigonometría, un poco de historia y las aplicaciones.

 

DEFINICIÓN

La palabra TRIGONOMETRÍA está compuesta de dos griegas trigonon significa triángulo y metron medir. Relaciona los lados de un triángulo con sus ángulos

TRI: Tres

GONO: Ángulo

METRÍA: Medida

Podemos decir que trigonometría etimológicamente «medición de los triángulos», es una parte de las Matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.

Aunque hay noticias de su existencia de la trigonometría antes del siglo II (antes de Cristo), es en este siglo y en Egipto donde adquiere relevancia (pirámides),

Veamos un video sobre la Historia de la trigonometría:

PARA SABER MÁS….

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA

Entonces la trigonometría ¿para qué sirve? es útil para resolver problemas geométricos y calcular longitudes en la realidad.

Ejemplos:

1. Desde un faro se ve un barco que necesita ayuda y es imprescindible saber a qué distancia de la costa se encuentra. Comprobarás que fácilmente construimos un triángulo rectángulo a partir del cual podemos, sirviéndonos de la trigonometría, realizar los cálculos que necesitemos conocer.

faro
2. Calcular la altura de la montaña desde el lugar donde hacemos la medición.

montaña

3. Calcular la distancia, de un lugar a otro, éste supuestamente inaccesible.

Existen aparatos que nos permiten conocer medidas de ángulos y otras herramientas encaminadas a facilitarnos los cálculos.

teolito
Con un teodolito como el de la fotografía, se pueden medir ángulos, tanto en el plano vertical como en el horizontal, que nos permiten, aplicando las razones trigonométricas, hallar distancias o calcular alturas de puntos inaccesibles. En estos casos aunque el triángulo de partida no sea rectángulo, trazando su altura podemos obtener dos triángulos rectángulos a resolver con los datos que tenemos.

Como ves, el conocimiento de la trigonometría soluciona muchos problemas, en los videos siguientes puedes darte cuenta de la importancia de está parte de las Matemáticas.

Vamos a estudiar la TRIGONOMETRÍA PLANA, necesitamos recordar:

a) Todo triángulo tiene 3 ángulos y tres lados, es decir, un total de 6 elementos y todos los problemas que se presenten, la trigonometría puede resolverlos conociendo tres de esos elementos, 2 ángulos y un lado o viceversa.

b) A los vértices del triángulo los llamaremos A, B y C (siendo A el vértice del ángulo recto, es decir de 90º) y a los lados a, b y c

c) Teorema de Pitágoras

d) Los ángulos de un triangulo se nombran con las letras griegas: α, β y γ (alfa, beta y gamma), se pueden medir en grados y radianes.

En las siguientes entradas iremos desarollando este tema de la trigonometria.

FUENTES
http://www.aulafacil.com/matematicas-trigonometria-plana
http://matematicasies.com
http://arquimedes.matem.unam.mx/descartes.org.mx/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_B_trigonometria/
http://www.vadenumeros.es/primero/trigonometria-resolver-triangulos.htm

Esta entrada participa en la edición 5.X: Sofia Kovalévskaya del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews

Un año más es un placer anunciar el ganador de la edición del Carnaval de Matemáticas de Diciembre, el año pasado fue la entrada Curvas de Persecución del Blog de José Luis Muñoz, y este año el ganador es David Orden, profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá, en Twitter como @ordend y también en Google + y en @cifrasyteclas con el Blog Cifras y Teclas.

Premio Carnaval Matematicas Diciembre 2014

La entrada ganadora es la número 24 que se publico el último día, cerrando la edición del Carnaval, ¡Feliz 2015, número de triángulos rectángulos y año con Blue Moon!  con 4+4+4= 12 PUNTOS, en segundo lugar la entrada número 22: “Matemáticas una ¿triste? historia de amor”  de Tito Eliatron (@eliatron), con 4+4+1= 9 PUNTOS.

En este Blog se anuncio que el Blog anfitrión para la edición de Enero 2015 era La aventura de la ciencia de @monzonete, pero hubo un cambio de última hora y la edición 5.X: Sofia Kovalévskaya que ha comenzado hoy 21 de Enero hasta el 27 de enero será en el blog ZTFNews.org de Marta Macho, que sigo en twitter  @MartaMachoS y es una publicadora incansable, tiene una sorpresa además del artículo más votado… esta vez habrá también un premio –al menos uno– en papel.

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Esta entrada participa en la edición 5.X: Sofia Kovalévskaya del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews
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Durante 8 años, la Facultad de Estudios Estadísticos de la Universidad Complutense de Madrid, pretende que los estudiantes se inicien en el campo de la Estadística y sus aplicaciones en distintos ámbitos de la sociedad.

Tenemos ya la convocatoria del VIII CERTAMEN DE LA INCUBADORA DE SONDEOS Y EXPERIMENTOS para estudiantes de E.S.O, Bachillerato y Ciclos Formativos.

El plazo de inscripción en el Certamen es del 26 de enero al 20 de Marzo de 2015y las bases estan en el enlace:

http://estudiosestadisticos.ucm.es/idys

¡¡OS ANIMAIS!!

Originalmente publicado en :: ZTFNews.org:

Oskar Van Deventer es un diseñador de impresionantes puzles:

Clipboard02Cubo Rubik de 17 x 17 x 17 de Oskar Van Deventer

Uno de ellos es un cubo Rubik… de 17 x 17 x 17.

Ver original 77 palabras más

Los duendes de las estadísticas de WordPress.com prepararon un informe sobre el año 2014 de este blog.

Aquí hay un extracto:

Madison Square Garden puede albergar 20.000 personas por concierto. Este blog fue visto cerca de 63.000 veces en 2014 .Si fuese un concierto en el Madison Square Garden, se precisarían alrededor de 3 actuaciones para que toda la gente lo viera.

Haz click para ver el reporte completo.

Antes de tomar las uvas quiero dejaros el resumen de las entradas de esta edición, este año la participación ha sido mucho más baja, para facilitar la labor de votar, os he numerado las entradas y podáis hacer vuestras votaciones para elegir la mejor entrada de la edición 5.9 en los comentarios de este post. Mi resumen es breve y simple, sin fotos ni decoración para que podáis leer las 24 entradas con tiempo y sin distracciones, ahí van:

19 de diciembre
1. Ejemplo del principio de inducción Por David Orden @ordend en @cifrasyteclas
http://cifrasyteclas.com/2014/12/19/ejemplo-del-principio-de-induccion-en-un-tuit/

2. La demostración más sencilla del teorema de Pitágoras por Jesús Soto @pimedios
http://pimedios.es/2014/12/19/la-demostracion-mas-sencilla-del-teorema-de-pitagoras/

3. Exponenciales y logaritmos llegan a casa por Navidad por Elisa Benitez @ebeniTIC
https://matesnoaburridas.wordpress.com/2014/12/18/exponenciales-y-logaritmos-llegan-a-casa-por-navidad/

4.Premio #CarnaMat58 por José Antonio Prado Bassas en Tito Eliatron Dixit @eliatron
http://eliatron.blogspot.com.es/2014/12/premio-carnamat58.html

5. Sobre números perfectos y los inversos de sus divisores por José Antonio Prado Bassas en Tito Eliatron Dixit @eliatron
http://eliatron.blogspot.com.es/2014/12/sobre-numeros-perfectos-y-los-invesos.html

6. Los números de Feigenbaum por Marta Macho Stadler @MartaMachoS en :: ZTFNews.org
http://ztfnews.wordpress.com/2014/12/19/los-numeros-de-feigenbaum/

7. Los primos gemelos de Paolo Giordano por Marta Macho Stadler @MartaMachoS en :: ZTFNews.org
http://ztfnews.wordpress.com/2014/12/19/los-primos-gemelos-de-paolo-giordano/

20 de diciembre
8. Matemáticas: ‘dignidad, perfección y utilidad’ por Marta Macho Stadler @MartaMachoS en :: ZTFNews.org
http://ztfnews.wordpress.com/2014/12/20/matematicas-dignidad-perfeccion-y-utilidad/

9. El teorema de Varignon por Marta Macho Stadler @MartaMachoS en :: ZTFNews.org
http://ztfnews.wordpress.com/2014/12/23/el-teorema-de-varignon/

21 de diciembre
10. Arcos de Málaga: rebajado por @Rafalillo86
http://elmundoderafalillo.blogspot.com.es/2014/12/arcos-de-malaga-rebajado.html

22 de diciembre
11. La mágica felicitación navideña titulada Bolas y estrella por José Antonio Prado Bassas en Tito Eliatron Dixit @eliatron
http://eliatron.blogspot.com.es/2014/12/feliz-navidad-bolas-y-estrella-14.html

12. Diez frases para jugar con la autorreferencia del Blog de divulgación de la Matemáticas y otros asuntos tales
http://elteoremadecuales.com/diez-frases-para-jugar-con-la-autorreferencia/

23 de diciembre
13. ¿Y si el valor de π fuese en realidad 3.2? por  Imanol Pérez @quiz302 blog de Pikasle
http://pikasle.com/es/2014/12/y-si-el-valor-de-%CF%80-fuese-en-realidad-3-2/

14. Breve análisis (matemático) del sistema electoral español, por Victor Manero @pitimanero
http://pikasle.com/es/2014/12/breve-analisis-matematico-del-sistema-electoral-espanol/

15. Bézout y Bachet: dos bes para un teorema: por Jesus Soto de @pimedios
http://pimedios.es/2014/12/23/bezout-y-bachet-dos-bes-para-un-teorema/

24 de diciembre
16. Imaginación+tenacidad+rigor:en matemáticas y paleontología, por Marta Macho Stadler @MartaMachoS en el Blog Cuaderno de Cultura Científica (KZK)
http://culturacientifica.com/2014/12/24/imaginacion-tenacidad-rigor-en-matematicas-y-paleontologia/

17. ¿Por qué nos creemos los teoremas matemáticos? por Francis Villatoro @emulenews
http://francis.naukas.com/2014/12/23/atencion-pregunta-por-que-nos-creemos-los-teoremas-matematicos/

18. La función zeta de Riemann como un campo electrostático por Francis Villatoro @emulenews
http://francis.naukas.com/2014/12/24/la-funcion-zeta-de-riemann-como-un-potencial-electrico/

19. Bola de árbol de Navidad… de Möbius por Marta Macho Stadler @MartaMachoS en :: ZTFNews.org
http://ztfnews.wordpress.com/2014/12/24/bola-de-arbol-de-navidad-de-mobius/

25 de diciembre
20. La historia de los números de Catalan por Francis Villatoro @emulenews
http://francis.naukas.com/2014/12/25/la-historia-de-los-numeros-de-catalan/

21. Precisión matemática por Marta Macho Stadler @MartaMachoS en :: ZTFNews.org
http://ztfnews.wordpress.com/2014/12/25/precision-matematica/

22. Matemáticas: una ¿triste? historia de amor por José Antonio Prado Bassas en http://principia.io/
http://principia.io/2014/12/25/matematicas-una-triste-historia-de-amor/

23. Navidad Matemática por Juan Martínez-Tébar Giménez @juanmtg1 en el Blog Los Matemáticos no son gente seria,
http://juanmtg1.blogspot.com.es/2014/12/navidad-matematica.html?spref=tw

24. ¡Feliz 2015, número de triángulos rectángulos y año con blue moon! por David Orden @ordend en @cifrasyteclas
http://cifrasyteclas.com/2014/12/25/feliz-2015-numero-de-triangulos-rectangulos-y-ano-con-blue-moon/

Me despido con las palabras de David Orden que realizo dos entradas el primer y último día para abrir y cerrar la edición: ¡Que tengas un muy feliz año 2015, número de triángulos rectángulos!

Os doy las gracias por participar …..AHORA A LEER Y VOTAR……… tenéis hasta el 15 de enero para decir en los comentarios de está entrada cuál ha sido vuestra entrada favorita de entre todas las participantes en esta edición. Ya sabéis como funciona votar 3 entradas: 4 puntos a la preferida, 2 puntos a la segunda y 1 punto a la tercera, sin olvidar mencionar en el comentario cuál es tu perfil en la web del Carnaval de Matemáticas.

Preparar vuestras aportaciones para la siguiente edición

Enero 2015 en el Blog anfitrión:

La aventura de la ciencia

@monzonete

PD: Si falta alguna entrada (espero que no) puedes hacérmelo saber en los comentarios, en twitter @EbeniTIC y en elysabeni@gmail.com, lo solucionaré lo antes posible.

Elisa Benítez…@EbeniTIC
Web Carnaval: http://carnavaldematematicas.bligoo.es/
Mi perfil: http://carnavaldematematicas.bligoo.es/profile/view/545230/EbeniTIC.html

Elisa Benitez. Madrid

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