RECTAS CAMALEONICAS

Posted by: Elisa Benitez on: 29 abril, 2015

• In: Ampliación Matematicas 4ESO | MATEMATICAS BACHILLERATO
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Lo primero nos preguntamos ¿Que es una recta? matemáticamente podemos decir que es un conjunto de puntos alineados en una única dirección, es decir, dado un punto y un vector puedo obtener su ecuación. Pero hay muchas formas de expresar una recta por eso las llamo en el título de esta entrada «Rectas camaleonicas», ya que tiene una gran habilidad para transformarse (me refiero a poderse expresar) según la situación y lo veremos.

Antes de usar los vectores (los vimos en el tema anterior SEMANA SANTA VECTORIAL), vamos a investigar lo que ya sabemos de las rectas.

Si tenemos un solo punto A, nos damos cuenta que NO podemos dibujar una única recta, tenemos infinitas rectas que pasan por él (imaginatelo y piensa que así es, si no te lo crees, coge un lápiz y papel y dibuja), pero dados dos puntos A y B esta claro que solo y solo puede pasar una recta con una dirección determinada y tiene una pendiente que llamamos m, que es la inclinación de la recta.

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PIENSA Y RAZONA: Antes de seguir, fíjate en la figura anterior y contesta:
a) ¿Cuantas rectas ves? ¿de que tipo son?
b) ¿Podrías decir dos puntos de cada una de ellas?
c) ¿Serias capaz de escribir las ecuaciones cada recta?

INDICACIÓN: Si no sabes como hacerlo sigue leyendo y quizás te ayude a resolver el ejercicio
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Cuando estudiamos las funciones, una de las primeras que nos cuentan los profes de mates en clase son las rectas ¿a que os suena?.

Por ejemplo y= 2x-5 (afín), y= -6x (lineal), y= 5, x= 1/2 (constantes)

Y como esto lo aprendemos desde primaria, sabemos que dando valores, haciendo una tabla obtenemos unos puntos (x ,y) que al representarlos en el eje de coordenadas nos puede dar una recta. Así la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, se obtiene con la fórmula y = mx + n, donde m=pendiente y n=ordenada en el origen, así en este ejemplo y=2x-5 la pendiente es m=2 y la ordenada en el origen es n=-5, como m es positiva entonces es una función creciente.

Además se puede hacer una analogía entre las ecuaciones de primer grado y las ecuaciones de la recta, veamos como lo explican en el siguiente vídeo.

Cuando se tienen dos puntos A= (x1,  y1) y B = (x2,  y2), la pendiente, que siempre es constante, se calcula como el cociente entre del incremento de ambos puntos, es decir:

m= Δx/ Δy

A partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, simplemente multiplicando en cruz. Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto A= (x1,  y1)  y tiene la pendiente dada m,  se establece de la siguiente manera:

y – y1 = m(x – x1) (ecuación punto-pendiente)

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente (o dados dos puntos se puede calcular) y las coordenadas de uno solo de sus puntos.

Hasta aquí no hay nada nuevo, resulta ademas de lo que hemos contado los matemáticos, como siempre, tendemos a ver más allá y queremos poner las cosas de diferentes formas aunque sirvan para lo mismo. Entonces nos inventamos los teoremas para plasmar los resultados.

Teorema
«La Ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0,

donde A, B, C pertenecen a los números reales;  y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta»

Cuidado aquí A, B y C no son puntos, son valores.

Veamos un vídeo en el que llegamos a la Ecuación general de una recta dados dos puntos A y B pasando por la ecuación punto-pendiente y – y1 = m(x – x1)

En el vídeo anterior tenemos dos formas de escribir una recta, en Internet en muchos de los vídeos se dice que hay tres formas de representar las ecuaciones de una recta, …. esto no es del todo cierto, a mi modo de ver y como me lo explicaron en su momento en 3ºBUP (hace unos cuantos años), hay más, pero eso lo descubriremos en otro momento en clase 🙂

MAS VIDEOS:
La Línea Recta: Tipos de Ecuación de Recta

Formas de expresar la ecuación de una recta

CONCLUSION:

Quizás con los vídeos te has hecho a la idea de que una recta se puede expresar de muchas formas, y varia su formulación según los datos que tengamos, entre ellas la más utilizada es y= mx+n, llamada ecuación explicita o punto pendiente, donde m=pendiente y n=ordenada en el origen, también la podemos escribir y – y1 = m(x – x1)

Si tomamos la Ecuación general dada por Ax+By+C=0, podemos llegar a la ecuación que ya conocemos hace tiempo y= mx+n, donde m=-A/B y n= -C/B

Podéis haber echado de menos los vectores…ya que utilizando el vector director de la recta y un punto podemos definir mas ecuaciones:  la ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y continua, pero eso sera en el siguiente post…………..CONTINUARA……………

FUENTES: videos de youtube

Esta entrada forma parte del Carnaval de Matemáticas, en la edición 6.3: Teorema de Pitágoras, del 22 al 29 de abril de 2015, organizado por Rafael Martínez González en el blog El mundo de Rafalillo.