Trigonometría: Medida de angulos y razones trigonometricas

Posted by: Elisa Benitez on: 26 enero, 2015

• In: Ampliación Matematicas 4ESO | Diversificacion 4ESO | MATEMATICAS BACHILLERATO
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1. Medidas de ángulos: Grados y radiales

Además de grados los ángulos en trigonometria tambien se miden en radianes, tenemos que saber entonces que es un radian y como pasar de grados a radianes y viceversa.

El grado (DEG) es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud (2 r)/360. Se simboliza con  º
Un grado son 60 minutos. 1º = 60´
Un minuto son 60 segundos. 1´ = 60´´

El radián (RAD) es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual al radio. Se simboliza con rad.

Veámoslo en el VIDEO siguiente, cómo los ángulos se pueden medir en grados y radianes y la relación entre ambos viene expresada por:

180º = π radianes

Ahora a practicar:

2. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Las razones trigonométricas que nos van a permitir hallar los elementos de un triángulo rectángulo (lados y ángulos)

3. Circunferencia goniometría: Circunferencia de radio la unidad, usada para hallar el valor de las razones trigonométricas.

Observa que (cos α, sen α) son las coordenadas del punto final del ángulo α en la circunferencia de radio unidad. Importante recordar el siguiente triángulo:

Para dar un significado a las relaciones trigonométricas utilizaremos un ejemplo real, el giro de una noria, con ello asociaremos la noción seno a la altura y la noción coseno a la longitud.

4. Razones trigonométricas ángulos más usuales

Cuando me explicaron esto en el Instituto, tuve la suerte de que mi profesora de Matemáticas me contara un truco para aprenderme la tabla de los ángulos más usuales que yo os cuento ahora:

Si nos fijamos en la tabla siguiente, vemos que si numeramos los ángulos de 1 a 3 en orden creciente en columna y dividimos entre 2, y hacemos la raíz cuadrada del numerador, entonces obtenemos la columna de los senos. Para obtener la columna de los cosenos no hace falta ningún cálculo, simplemente procedemos en orden inverso a hacer lo que hemos hecho antes. Y para obtener la de las tangentes simplemente divididos el valor del seno entre el valor del coseno.

El primer video es la demostración de lo que valen cada una de estas razones de los ángulos más usuales 30º, 45º y 60º

Los dos siguientes videos nos muestran un truco para aprenderse lo que valen pero sin demostrarlo

 

5. Signos razones trigonométricas según el cuadrante

Relaciones fundamentales:
A partir de la primera relación se pueden obtener dos relaciones más ¿podrias averiguar cuales son? Si lo haces escribelo en un comentarío o mándamelo por correo 🙂

Con estas dos relaciones podemos sabiendo el sen a, cos a o tan a, podemos calcular el resto de razones trigonométricas, teniendo en cuenta los signos de las razones trigonométricas que calculemos según el cuadrante donde se encuentren.

Veremos ejemplos en clase, donde dada una de las razones trigonometricas calculamos el resto.

6. ÁNGULOS MAYORES DE 360º

Los valores comprendidos entre 0º y 360º nos permiten expresar la medida de cualquier ángulo.

Por ejemplo, podemos darle sentido al ángulo 400º = 360º + 40º al situarlo sobre la circunferencia goniométrica, pues el segundo lado dará una vuelta completa (360º) más un ángulo de 40º :

400º = 360º + 40º = 1 vuelta + 40º

Para cualquier ángulo mayor que 360º se divide entre 360 y el cociente nos da el número de vueltas enteras y el resto, el ángulo b (entre 0º y 360º)

a = n.360º + β, donde n es un número entero de vueltas (positivo o negativo)

Veamos un video para ilustrarlo mejor:

7. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES DE CIERTOS ÁNGULOS

ANGULOS SUPLEMENTARIOS: son aquellos que suman 180º     (a y 180º-a)

• sen (180º -a ) = sen a
• cos (180º -a )= -cos a
• tg (180º – a)= -tg a

Estas relaciones me sirven para cuando tenemos un ángulo que pertenece al II cuadrante, pasarlo al I cuadrante donde los ángulos más usuales que nos podemos encontrar serán 30º, 45º y 60º, de los cuales conocemos su valor sin necesidad de utilizar la calculadora y podemos expresar las relaciones  anteriores de la siguiente forma, quizas quede así más claro:

sen a= sen (180º -a )
cos a= – cos (180º -a )

tg a= – tg (180º – a)

Ejemplo:

Vamos a calcular el cos 120º, para ello nos fijamos que 120º pertenece al II cuadrante, entonces sabemos que:  cos 120º= – cos (180º -120º ) = -1/2

 

Si ahora tenemos un ángulo de III cuadrante ¿cómo lo relacionaremos con el I cuadrante?

sen a=-  sen (a- 180º)
cos a= – cos (a- 180º)

tg a= – tg (a- 180º)

 

Y por último si el ángulo esta en el IV cuadrante ¿cómo lo relacionaremos con el I cuadrante?

sen a= –  sen (360º-a)
cos a= cos (360º-a)

tg a= – tg (360º-a)

 

CONCLUSION: Podemos relacionar cualquier ángulo y pasarlo al I cuadrante

 

EJERCICOS RESUELTOS

1. Calcular en función de las razones trigonométricas de ángulos conocidos el sen y cos de los siguientes ángulos: 120º, 135º, 150º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 330º.

sen120º=sen60º, cos120º=-cos60º

sen135º=sen45º, cos135º=-cos45º

sen150º=sen30º,cos150º=-cos30º

sen180º=sen0, cos180º=-cos0º

sen210º=-sen30º, cos210º=-cos30º

sen225º=-sen45º,cos225º=-cos45º

sen240º=-sen60º, cos240º=-cos60º

sen270º=-sen90º, cos270º=-cos90º

sen300º=-sen60º, cos300º=cos60º

sen315º=-sen45º, cos315º=cos45º

sen330º=-sen30º, cos330º=cos30º

 

2. Calcula reduciendo al primer cuadrante las razones trigonométricas siguientes: a) sen150; b) cos135; c) tg300; d) sec225; e) cosec120; f) cotg240; g) sen750; h) cos(8π/3).

Sol: a) 1/2             b) -raiz 2/2              c)-raiz 3      d) -raiz 2       e)  2/raiz 3             f)raiz 3/3                  g) 1/2                       h) -1/2

ÁNGULOS QUE DIFIERECIAN 180º

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo a con las de 180º+a va a permitir «reducir» ángulos del III al I cuadrante.

• sen (180 + a) =- sen a
• cos (180 + a)= – cos a
• tg (180 +a )= tg a

 

 ÁNGULOS OPUESTOS

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo a con las de su opuesto -a  va a permitir «reducir» ángulos del IV al I cuadrante.

• sen (-a) = – sen a
• cos (-a)= cos  a
• tg (-a) = – tg a

ANGULOS COMPLEMENTARIOS

• sen(90 – a)= -cos a
• cos(90 – a)= sen a
• tg(90 – a)= -cotg a

 

Esta entrada participa en la edición 5.X: Sofia Kovalévskaya del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews

Etiquetas: Razones trigonométricas, triángulo rectángulo