Que no te aburran las M@TES

Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro, ordenados a1, a2, a3 ,…………….., an.

20141125_011509

Los números a1, a2 , a3 , …; se llaman términos de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Los subíndices recorren los números naturales porque una sucesión tiene tantos elementos como números naturales hay; es decir, una sucesión tiene una cantidad infinita numerable de términos.

Las sucesiones son discontinuas, pues no hay imágenes para números distintos a los naturales, es una de las diferencias con las funciones.
Cuando en una sucesión haya que referirse a un término cualquiera sin especificar el lugar que ocupa se hará siempre mención al término an , denominado término n-ésimo o termino general, que es una expresión que permite conocer un elemento cualquiera siempre que se sepa el lugar que ocupa. En definitiva, el lugar que cada término tome en una sucesión será de vital importancia a la hora de hacer un mínimo análisis del comportamiento de la sucesión.

Ejemplos:

a) 1,2,3,4……..n, ……… Termino general=n

b) 1, ½, 1/3, ¼, 1/5,………1/n,……. Termino general=1/n

Determinación de una sucesión
1.Por el término general an= 2n-1

2. Por una ley de recurrencia

Veremos sólo los límites de las sucesiones cuando n tiende a ∞, de sucesiones polinómicas y radicales

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

propiedades sucesiones

INDETERMINACIONES

Se conocen así las expresiones a las que se llega en el cálculo de límites y que no tienen un resultado perfectamente determinado.

Por ejemplo, la expresión ∞/∞ podría valer ∞ , puesto que al dividir ∞ por una expresión debería dar ∞ ; por otro lado podría dar 0, ya que algo dividido por ∞ tiende a 0; también podría ser 1 puesto que una expresión dividida por ella misma da la unidad. La práctica nos hará ver casos, en que la expresión ∞/∞ dará lugar en unos casos a un número y en otros a otro distinto.

Las indeterminaciones más habituales son:

indeterminacionessParece que este tema es un poco abstracto y os esta costando entender la idea de límte, quizas os puedan ayudar esta recopilación de videos, en alguno de ellos no lo hacen exactamente como lo hacemos en clase pero seguro que los vais a entender.

LIMITE DE UNA SUCESIÓN (calculando sus términos)

IDEA DE LÍMITE (lo veremos la semana que viene)

POLINOMIOS

∞/∞

Cuando tengamos que calcular el límite de un cociente de dos polinomios, que obviamente producirá una indeterminación de este tipo, dividiremos el numerador y denominador por la n de mayor grado y volveremos a calcular el límite aplicando las propiedades que ya conocemos de los límites.

Veamos un ejemplo:

indeterminaciones1

indeterminaciones_2

0/0 y 0±∞

Os recuerdo que esta indeterminaciones se resuelve operando y llegando a la anterior, es decir a ∞/∞

RADICALES

∞/∞

 

∞- ∞

Si la indeterminación se produce como consecuencia de que la estructura del límite es una diferencia de dos radicales , se multiplica y se divide por la expresión conjugada.

Veamos un ejemplo:

conjugado_2

 

INDETERMINACIÓN  (Número e)

NUMERO E_2

NUMERO_eNUMERO E

 

CASOS QUE NO SON INDETERMINACIONES

EXPONENCIALES

PARA PRACTICAR

Para terminar os dejo este documento Limites_con_soluciones

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Esta entrada participa en la Edición 5.8: Betty Scott del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog tocamates.

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estudiar2FUENTE IMAGEN: http://quintoalameda.blogspot.com.es

Con el objetivo de que aprendas y apruebes la sumativa que será entre el 19 y 25 de noviembre, los profesorse que damos la asignatura de Ampliación de Matemáticas os proponemos que no perdáis de vista los controles que se han puesto en cada una de las clases.

Control_ 4º ESO_B

Control_ 4º ESO_C

 

Originalmente publicado en Matemáticas 3º ESO:

Os propongo un cambio de dinámica. Este profe os cuenta la teoría en casa y en clase nos dedicamos a hacer ejercicios de aplicación de los conceptos.

El primer vídeo es sobre Progresiones aritméticas:

Para poder comprobar que lo has visto tienes que copiar en tu cuaderno el ejemplo que realiza este profe en el vídeo.

En este otro vídeo se resuelve un ejercicio que tenemos que saber hacer. Cópialo también en tu cuaderno.

Si te ha gustado pon algún comentario en la entrada.

¡A disfrutar!

Ver original

Originalmente publicado en InformaTICa X.0 para todos:

Programa que se coloca en bandeja escritorio, captura pantallas (completas, parciales, ventanas activas, áreas o de otros tipos) en cualquier momento presionando una única tecla.

Formatos soportados: JPG, JPEG, BMP, PNG, GIF, TIF y PCX. (Todos se podrán imprimir y guardar)

Ver original

Originalmente publicado en InformaTICa X.0 para todos:

1412768487376Gmail se actualiza a la versión 3.1415926 para hacerse compatible con el iPhone 6 y iPhone 6 Plus.

http://noticiasapple.es/?p=16754

La actualización está disponible el día de hoy bajo la versión versión 3.1415926, sí, la misma de π, incorporando además de los nuevos tamaños, el modo de vista horizontal en el iPhone 6 Plus (gracias Rodri), y llega después de que el pasado 18 de septiembre se actualizara con soporte para iOS 8, así como un leve lavado de cara al ícono de la aplicación.

http://www.applesfera.com/aplicaciones-ios-1/gmail-para-ios-se-actualiza-con-soporte-para-los-nuevos-iphone-6

Con la aplicación de Gmail puedes hacer todo esto:

– Alternar entre varias cuentas (5 como máximo).
– Recibir avisos inmediatos de nuevos mensajes, con las opciones de centro de notificaciones, globos y bloqueo de pantalla.
– Buscar en todo tu correo rápidamente, ahora con predicciones a medida que escribes.
– Ver fotos de perfil como parte de la conversación.
– Leer tu…

Ver original 134 palabras más

Llego la hora de demostrarme lo que habéis aprendido. Os dejo un resumen de algunas de las cosas que tenéis que repasar.

En esta unidad hemos visto:

1. Clasificacion números reales: El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales y se designa por R

realess

Los números racionales (Q):Es el conjunto formado por los números enteros y las fracciones. Se representa por “Q”.

Los números naturales (N): Es el conjunto formado por los números {1, 2, 3, …, n, …}. Nos permite contar, ordenar e identificar. Podemos sumar y multiplicar sin problemas. Sin embargo, para la resta es necesaria la ampliación a los números enteros. Se representa por “N”.

Los números enteros (Z):Es el conjunto formados por {…, -n,…, -2, -1, 0, 1, 2,…, n, …}.
Los números naturales {1, 2, 3, …,} se llaman también enteros positivos. Y los números {-1, -2, -3, …,} se llaman enteros negativos. El 0 es un número entero que no es positivo ni negativo. El conjunto de los números enteros se designa por la letra Z.

Podemos sumar, restar y multiplicar sin problemas. Sin embargo, para la división es necesaria la ampliación a los números racionales.

Los números irracionales (I): Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es pi, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

                                            pi = 3.141592653589…

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

                                                e = 2.718281828459…

El número áureo, letra griega, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

número áureo

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales.

Ejemplos:

√3 1,7320508075688772935274463415059
√99 9,9498743710661995473447982100121

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

2. Valor absoluto. Intervalos y semirectas

Un intervalo es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de un segmento de la recta real. Según incluyan (cerrado) o no (abierto) los extremos del segmento, los intervalos pueden ser:
• Cerrados: [a , b]
• Abiertos: (a , b)
• Cerrado por la izquierda y abierto por la derecha:[a , b)
• Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: (a , b]

semirectas3. Tipos de aproximaciones (defecto, exceso, redondeo)

Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado.
Aproximación por defecto, buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatemente menor que el dado.
Aproximación por exceso, es el número con las cifras decimales fijadas inmediatemente mayor.
Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales:
a) por defecto es 1.34
b) por exceso es 1.35

Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son:
a) | 1.3456 – 1.34 | = 0.0056
b) | 1.3456 – 1.35 | = 0.0044

Redondear un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor, en nuestro caso si redondeamos 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35.

Para obtener la aproximación por redondeo de un número hasta un determinado orden, observa la primera cifra que debemos suprimir:
 
- Si esta cifra es menor que 5, aproxime por defecto.
- Si esta cifra es mayor o igual que 5, aproxime por exceso, es decir, aumente en una unidad la última cifra que se conserva.
redondeo

4. Errores que comentemos cuando damos una medida aproximada

Error Absoluto = | Valor Real – Valor Aproximado |

Error Relativo =(Error Absoluto/valor Real)*100

La mejor aproximación es la que tenga menor error relativo

Ejercicio: Al medir la cantidad de líquido de un vaso hemos obtenido 3,45 litros. Sabiendo que la cantidad real que había en el vaso era de 4,356 litros. Define y calcular el error absoluto y el error relativo de dicha medida.

(Hazlo y si no lo te sale pregunta en clase)

5. Potencias y su aplicación en la notación científica

La expresión de un número en notación científica consiste en representarlo como un número entero o decimal con una sola cifra entera (en ambos casos entre 1 y 9) multiplicado por una potencia de 10 (positiva o negativa).
Al exponente de la potencia de 10 se le llama orden de magnitud.

Los números siguientes están puestos en notación científica:
2,48 . 10^14 = 248.000.000.000.000 (14 cifras a partir de la coma)
7,561. 10^-14 = 0,00000000000007561 (14 cifras de la coma al 7)

Esta notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes o muy pequeños.

TEORIA notacion cientifica

 6. Radicales y sus propiedades

Potencias_radicales_resueltos

ACTIVIDADES REPASO

UD_1_REPASO_MATES

 

FUENTES:

Recopilación de ejercicios de material fotocopiable de SM

http://www.iesvelazquez.org/joomla/index.php?option=com_content&task=category&sectionid=4&id=27&Itemid=131&lang=es

http://www.vitutor.com/di/re/r1.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-irracionales.html

Bueno chicos llego la hora de ver como habéis aprendido las técnicas de combinatoria, para ayudaros un poco más escribo esta entrada, en ella os dejo los siguientes documento para preparar la prueba.

1. Soluciones ecuaciones combinatorias del cuadernillo de clase

SOLUCIONES_ecuaciones

2. Resumen: que nos tenemos que ir preguntando en los problemas para descubrir si son variaciones, permutaciones o combinaciones (sin y con repetición)

esquema3. Ejempos, siguiendo el esquema anterior

ejemplo_variaciones

ejemplo

4. Ejemplo binomio de Newton

ejemplo_binomio

5. Mas problemas para practicar

1. ¿Cuántos son los resultados posibles de dos equipos que se enfrentan en 5 partidos?
2. ¿De cuántas formas distintas se puede formar el pódium (1º, 2º Y 3º) de la final de los 100 m lisos en la que corren 8 atletas?
3. En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar sólo 3 para la final. ¿Cuántos grupos distintos de finalistas se pueden formar?
4. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra JUAN? ¿Cuántas ordenaciones distintas empezarán por vocal?
5. ¿Cuántos números distintos se pueden formar con los dígitos 3224531?
6. Calcula el número de boletos de Lotería Primitiva que es necesario rellenar para que te toque el primer premio con toda probabilidad (Hay que acertar 6 números de un total de 49).
7. ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con la palabra MATEMATICAS? ¿Cuántas empezarán por la letra M?
8. ¿De cuantas maneras pueden combinarse los 7 colores del arco iris tomando 3 de ellos?
9. La comida básica de un poblado está basada en el arroz, las judías, el maíz y la patata. ¿Cuántos platos distintos pueden realizar mezclando 3 alimentos a la vez?
10. El aula de informática de un instituto tiene 10 ventanas. Teniendo en cuenta que sus posiciones posibles son abiertas o cerradas, y que debe haber 6 abiertas y 4 cerradas, calcula el número de posiciones distintas que pueden tener las ventanas.
11. En una clase de 4ºESO se realiza la elección del delegado y del subdelegado entre 5 alumnos. ¿Cuántos resultados posibles existen?
12. Los alumnos del último curso de un centro escolar desean formar una comisión con 3 alumnas y 2 alumnos para organizar el viaje de fin de curso. El número total de alumnas es de 25 y el de alumnos es de 20. ¿De cuántas formas distintas pueden completar dicha comisión? Formas de completar la comisión:
13. La codificación de los libros de una biblioteca se establece de la siguiente manera: los 3 primeros dígitos del código hacen referencia a la sección a la que pertenecen; los 2 siguientes, al número de la estantería en la que se encuentran, y los 2 últimos, a la posición que ocupan dentro de dicha estantería. Teniendo en cuenta que se utilizan las cifras del 1 al 9, ¿cuántos libros se pueden codificar?
14. Cierta comarca está formada por 15 pueblos, y todos sus ayuntamientos deciden rehabilitar sus carreteras. Si todas las localidades se encuentran comunicadas entre sí, ¿cuántas carreteras deberán rehabilitarse?

 

FUENTES:

Material fotocopiable Santillana

Timonmate

http://selectividad.intergranada.com/mates4b.html

 

Elisa Benitez. Madrid

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